Distribusi Frekuensi

Dalam suatu penelitian biasanya dilakukan suatu kegiatan pengumpulan data. Data-data ini digunakan untuk mendukung penelitian, dimana hasil dari penelitian ini bergantung dari banyak dan ketepatan data-data yang berhasil dikumpulkan. Untuk memudahkan penggunaan data-data itu dalam penelitian, data-data itu dapat diringkaskan atau disusun.

 

Salah satu cara untuk mengatur atau menyusun data adalah dengan mengelompokkan data-data berdasarkan ciri-ciri penting dari sejumlah besar data, ke dalam beberapa kelas dan kemudian dihitung banyaknya pengamatan yang masuk ke dalam setiap kelas. Susunan demikian ini dalam bentuk label, disebut Distribusi frekuensi. Selain itu dapat pula disajikan dalam bentuk diagram dan grafik.

Berdasarkan jenis data yang digolongkan didalamnya distribusi frekuensi dibagi menjadi dua yaltu, distribusi frekuensi bilangan (numerical frequency distribution) dan distribusi frekuensi kategoris (categorical frequency distribution).

Tabel 1. Distribusi Frekuensi Bilangan

Distribusi frekuensi bilangan adalah distribusi frekuensi yang berisikan data berupa angka-angka, dimana data itu dibagi atas golongan-golongan yang dinamakan kelas-kelas, menurut besarnya bilangan.





Tabel 2. Distribusi Frekuensi Kategoris

Distribusi frekuensi kategoris adalah distribusi frekuensi yang berisikan data bukan angka, dimana data itu dibagi atas golongan-golongan yang dinamakan kelas-kelas, berdasarkan sifat lain.

Diposkan oleh usman di

peluang

DEFINISI
Dua kejadian A dan B dikatakan bebas jika dan hanya jika
P(AÇB) = P(A). P(B)
Contoh:
Dalam tas I terdapat 4 bola putih dan 2 bola hitam. Dalam tas II terdapat 3 bola putih dan 5 bola hitam.
Sebuah bola diambil dari masing-masing tas.
a) Keduanya berwarna putih
b) Keduanya berwama hitam
Jawab:
Misal
A = bola putih dari tas I
B = bola putih dari tas II
P(A) = 4/6
P(B) = 3/8
   _                  _
P(A) = 2/6      P(B) = 5/8

a. P(AÇB) = P (A) . P (B) = 4/6 . 3/8 = 1/4
        _        _         _      _
b. P((A) Ç P(B)) = P(A). P(B) = 2/6 . 5/8 = 5/24

DEFINISI
Jika A dan B dua kejadian yang saling asing maka berlaku :
P (AUB) = P(A) + P(B)
Contoh:
Pada pelemparan sebuah dada merah (m) dan sebuah dadu putih (p).
Maka: S={(1,1), (1,2), .....,(1,6), (2,1),(2,2),.....(6,6)}
         n(S) - (6)² = 36
A : Kejadian muncul m + p = 6 ® {(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1)}
     n(A) = 5
B : Kejadian muncul m + p = 10 ® {(4,6), (5,5), (6,4)}
     n(B) = 3
P(A) = 5/36        P(B) = 3/36
AUB :Kejadian muncul m + p = 6 atau m + p = 10 ®
       { (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (4,6) (5,1) (5,5) (6,4) }
       n(AUB) = 8
P(AUB) = 8/36 = P(A) + P(B)
A dan B kejadian yang saling asing.

DEFINISI
Jika A dan B dua kejadian yang tidak saling asing maka berlaku
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AÇB)
Contoh:
Dalam pelemparan sebuah dada S : { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
A : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan ganjil =      { 1, 3, 5 } ® n(A) = 3/6
B : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan prima =      {2, 3, 5} ® n(B) = 3/6
P(AUB) = 4/6 = P(A) + P(B)
A dan B kejadian yang tidak saling asing.

Teorema Sisa

Teorema Sisa

1. Suku banyak berderajat n habis dibagi (x-a), maka sisanya adalah 0
2. Suku banyak berderajat n dibagi (x-a), maka sisanya adalah f(a)
3. Suku banyak berderajat n dibagi (ax+ b), maka sisanya adalah

Hasil bagi suku banyak f(x) oleh ax+b adalah H(x) dan sisa S, hal ini ditulis

f(x)=(ax+b)H(x)+S

untuk x==

Sisa =

Contoh :

Tentukan sisa pembagian suku banyak 2x³ – x² + 3x -1 oleh

a. x b. x-1 c. x+2 d. 2x+1

Jawab :

1. f(0) = -1
2. f(1)= 2 – 1 + 3 – 1 = 3
3. f(-2)= 2(-2)³ – (-2)² + 3(-2) – 1 = -27
4. f(- ½ )=

Latihan :

13. Tentukan sisa pembagian x³ – 6x² + 11x – 6 oleh

a. x+1 b. x-1 c. x+2 d.xX-2 e. x-3

14. Diketahui f(x) = x³ + ax² + bx – 2 . Jika Sisa pembagian f(x) oleh x+1 sama dengan sisa pembagian f(x) oleh (x-2), tentukan nilai a dan b

Suku banyak berderajat lebih dari 2 dibagi (ax²+bx + c) mempunyai sisa ax + b

Contoh 11.

Tentukan hasil bagi x³-2x²+ 4x – 3 oleh (x+1)(x-2)

Jawab :

x³-2x²+ 4x – 3 = (x+1)(x-2)H(x) + ax + b

untuk x = -1  (-1)³-2(-1)² + 4(-1) -3 = (-1+1)(-1-2)H(x)= a(-1) + b

-1 – 2 – 4 – 3= -a + b

-a+ b = -10........................................................... (1)

untuk x = 2  8 – 8 + 8 – 3 = 2a + b

2a+b= 5 ............................................................... (2)

Dengan cara eliminasi atau substitusi diperoleh a = 5 dan b = -5

Jadi Sisa pembagian x³-2x²+ 4x – 3 oleh (x+1)(x-2) adalah 5x - 5

Contoh 12.

x³ + ax + b:(x-1)(x-2) mempunyai sisa 2x+_1, tentukan a dan b

Jawab :

x³ + ax + b=(x-1)(x-2)H(x) + 2x + 1

untuk x = 1  (1)²+ a(1) + b = 2(1) + 1

a + b = 2 ………………… (1)

untuk x = 2  (2)³ + a(2) + b = 2(2) + 1

2a + b = -3 …………………..(2)

Dengan cara eliminasi atau substitusi maka diperoleh a =-5 dan b = 7

15. x¹⁰ + ax⁵ + b habis dibagi x² – 1

Jawab :

x² – 1= (x-1)(x+1)

untuk x=-1  (-1)¹⁰ + a(-1)⁵ + b = 0 (karena f(x) habis dibagi x² – 1)

a - b = -1 ……………………………………….. (1)

untuk x=1  (1)¹⁰ + a(1)⁵ + b = 0

a + b = -1 …………………………………….. (2)

Dengan cara eliminasi atau substitusi didapat a = 0 dan b=-1

15. 2x³+ x² + ax + 1 habis dibagi x²+ b, tentukan nilai a dan b

Jawab:

2x³+ x² + ax + 1 =( x²+ b) H(x)

2x³+ x² + ax + 1 =( x²+ b) (px + q)

2x³+ x² + ax + 1 =px³ + qx² + bpx + bq

p = 2 ; q = 1 ; a = bp ; bq = 1

bq = 1  b = 1

a=bp  a = 1.2  a = 2

Jadi : a =2 b=1 p = 2 q = 1

15. Tentukan nilai a dan b jika 4x³ + ax + b dibagi 2x² + 1 mempunyai sisa (x+ 1)

Jawab :

4x³ + ax + b = (2x² + 1)H(x) + (x+1)

4x³ + ax + b = (2x² + 1)(2x + q) + (x+1)

= 4x³ + 2qx² + 3x +q + 1

2q=0  q = 0 a=3 dan b= q+1  b = 1

15. H(x) dibagi (x-2) sisa 5, dan H(x) dibagi (x-3) sisa 7. Tentukan sisa pembagian f(x) oleh (x-2)(x-3)

Jawab

f(x) : x-1 sisanya 6 dan f(x) : (x-2)² sisanya 6x + 1

f(x) = (x-1)(x-2) + ax + b

f(1) = a + b = 6

f(2)= 2a + 1 = 13

Didapat a= 7 dan b = -1

15. Jika f(x) dibagi (x-1)² mempunyai sisa 2x+3. Tentukan sisa pembagian f(x) oleh (x-1)

f(1) = ( x – 1)²H(x) + 2x + 3

= 0 + 2 + 3 = 5

Sisa pembagian f(x) oleh (x-1) adalah 5

15. Jika f(x) dibagi (x-3) bersisa 2, tentukan sisa pembagian f(x)(x²+1) oleh (x-3)

Jawab :

f(x) = (x-3)H(x) + 2  f(3) = 2

15. f(x) dibagi (x²-4) mempunyai sisa 2x-2; g(x) dibagi (x-2) mempunyai sisa 5. Tentukan sisa pembagian [f(x).g(x)]² oleh (x-2)

Jawab :

f(x) = (x-4)H(x) + 2x- 2  f(2) = 2.2 – 2 = 2

g(x)= (x–3)H(x) + 5  g(2) = 5

{f(x).g(x)}³ : (x-2)  { f(2). G(2) }³ = {2 . 5}³ = 1000

15. M(x) dibagi (x-2) sisa 6; H(x) dibagi (x-1)² sisa 6x+1. Tentukan sisa pembagian M(x) oleh(x-1)(x-2)

Jawab :

f(x) = (x-1)(x-2)H(x) + ax + b

f(1) = a + b = 6

f(2) = 2a + b = 13

didapat a= 7 dan b = -1 Jadi Sisanya : 7x - -1

15. Jika f(x), g(x) habis dibagi (x+2) dan h(x)=x³-6x²-x+30 adalah KPK dari f (x) dan g(x). Tentukan nilai f(1)+g(1)=….

Jawab :

15. f(x):(x+2) sisanya 0; f(x) dibagi (x-1) sisanya 6; dan f(x) dibagi (x-2) sisanya 12. Tentukan persamaan parabola tersebut ?

27. Tentukan Tentukan sisa pembagian x² –(2y+3)x + y²+ 3y + 2 oleh
    1. (x-y-1) b. (x-y-2)

27. Tentukan faktor suku banyak 2x² +(3y-y)x + (y-1)(y-2)=0

27. Tentukan sisa pembagian x³ + ax² + bx+6 oleh x²-x – 2

Kegunaan Statistik

Statistik berfungsi hanya sebagai alat bantu! Peranan statistik dalam penelitian tetap diletakkan sebagai alat. Artinya, statistik bukan menjadi tujuan yang menentukan komponen penelitian lain. Oleh sebab itu, yang berperan menentukan tetap masalah yang dicari jawabannya dan tujuan penelitian itu sendiri.

Statistik dapat berguna dalam penyusunan model, perumusan hipotesis, pengembangan alat pengambil data, penyusunan rancangan penelitian, penentuan sampel, dan analisis data, yang kemudian data tersebut diinterpretasikan sehingga bermakna. Hampir semua penelitian ilmiah dilakukan terhadap sampel kejadian, dan atas dasar sampel itu ditarik suatu generalization. Suatu generalisasi pasti mengalami error, disinilah salah satu tugas statistikbekerja atas dasar sampel bukan populasi. Dengan demikian pengujian hipotesis dapat kita lakukan dengan teknik-teknik statistik.

Dari hasil analisis statistik yang diperoleh berdasarkan perhitungan yang angka-angka tersebut, sebenarnya belum mempunyai arti apa-apa tanpa dideskripsikan dalam bentuk kalimat atau kata-kata di dalam penarikan kesimpulan. Jika tidak, maka hasil analisis tersebut tidak akan bermakna dan hanya tinggal angka-angka yang tidak "berbunyi".

Pengertian Satatistik

Statistik adalah kata yang digunakan untuk menyatakan sekumpulan fakta, umumnya berbentuk angka-angka yang disusun dalam tabel atau diagram yang melukiskan atau menggambarkan suatu kumpulan data yang mempunyai arti. Untuk memudahkan, berikut ini disampaikan beberapa contoh :

• "Ada 60 % dari penduduk yang memerlukan air bersih, kata 60 % adalah statistik.
• Statistik vital pragawati tersebut adalah 38 - 33 - 35, rangkaian angka-angka ini disebut juga "statistik" karena mempunyai arti.

Sedangkan statistika menunjukkan suatu pengetahuan yang berhubungan dengan cara- cara pengumpulan fakta, pengolahan, penganalisisan, dan penarikan kesimpulan serta pembuatan keputusan yang cukup beralasan berdasarkan fakta yang ada.

Materi Perpangkatan bentuk aljabar pangkat lebih dari satu

(a +b )¹            = a +b

koefisien a dan b adalah   1      1

(a +b)²             =    (a +b) (a +b)

=a²+ab +ab +b² = 1.a² + 2ab +1. b²

=     a² + 2ab + b²

koefisien a², ab, dan b²adalah    1   2   1

(a +b)³             =    (a +b) (a +b)²

=    (a +b) (a² + 2ab +b² )

=a³+2a²b + ab² +a²b +2ab²+b³

=    1.a³ + 3a²b + 3ab² + 1.b³

=    a³ + 3a²b + 3ab² + b³

koefisien a³, a²b, ab²dan b³  adalah 1 ,  3  ,  3  , 1

(a +b)⁴             =    (a +b)² (a +b)²

=    (a² + 2ab +b²) (a² + 2ab +b²)

=a⁴  +2a³b+ a2b²  +2a³b +4a²b² +2ab³+a²b² +2ab³+b⁴

=    1 a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ +1 b⁴

=    a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ +b⁴

koefisien a⁴, a³b, a²b², ab³, dan b⁴  adalah 1 ,  4  ,  6  ,  4  , 1